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1975 AMC 12 第 27 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

若

p

、

q

、

r

是方程

x^3-x^2+x-2=0

的三个不同根，则

p^3+q^3+r^3

等于

If

p,

q,

and

r

are distinct roots of

x^3-x^2+x-2=0,

then

p^3+q^3+r^3

equals

-1

1

3

5

以上都不对

none of these

答案：E

知识点：多项式韦达定理牛顿恒等式

难度评级：1960

小提示：

用韦达定理求

p+q+r

和

pq+pr+qr

Use Vieta to find

p+q+r

and

pq+pr+qr

大提示：

先计算

p^2+q^2+r^2

，再将三个根所满足的方程相加

First compute

p^2+q^2+r^2,

then add the three equations satisfied by the roots

解答：

由韦达定理得

p+q+r=1

且

pq+pr+qr=1

。因此

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1\text{。} \end{aligned}

每个根

t

都满足

t^3=t^2-t+2

。将三个根对应的等式相加，得到

p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4\text{。}

这个数不在选项 A 到 D 中。

因此，正确答案是 E。

Vieta gives

p+q+r=1

and

pq+pr+qr=1.

Thus

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}

Each root

t

satisfies

t^3=t^2-t+2.

Summing over the three roots yields

p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.

This is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.