1975 AMC 12 Problema 26

Question

En el triángulo acutángulo

ABC,

la bisectriz de

\angle A

corta al lado

BC

en

D.

El círculo con centro

B

y radio

BD

corta al lado

AB

en

M;

y el círculo con centro

C

y radio

CD

corta al lado

AC

en

N.

Entonces siempre es cierto que

In acute triangle

ABC

the bisector of

\angle A

meets side

BC

at

D.

The circle with center

B

and radius

BD

intersects side

AB

at

M;

and the circle with center

C

and radius

CD

intersects side

AC

at

N.

Then it is always true that

\begin{aligned}\angle CND+\angle BMD\\{}-\angle DAC=120^\circ\end{aligned}

AMDN

es un trapecio

AMDN

is a trapezoid

BC

es paralelo a

MN

BC

is parallel to

MN

AM-AN=\frac{3(DB-DC)}2

AB-AC=\frac{3(DB-DC)}2

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Usa

BM=BD,\ CN=CD,

y el teorema de la bisectriz

Use

BM=BD,\ CN=CD,

and the angle bisector theorem

Pista grande:

Demuestra que

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}

y aplica el recíproco del teorema de proporcionalidad

Show that

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}

and apply the converse of the side-splitter theorem

Solución:

El teorema de la bisectriz da

\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.

Como

BM=BD

y

CN=CD,

tenemos

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.

Por tanto,

M

y

N

dividen

AB

y

AC

proporcionalmente desde

B

y

C,

así que el recíproco del teorema de proporcionalidad da

MN\parallel BC.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angle bisector theorem gives

\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.

Since

BM=BD

and

CN=CD,

we have

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.

Therefore

M

and

N

divide

AB

and

AC

proportionally from

B

and

C,

so the converse of the side-splitter theorem gives

MN\parallel BC.

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años