1975 AMC 12 第 3 题

Question

对于所有实数

a

、

b

、

c

、

x

、

y

、

z

，若它们满足

x\lt a

、

y\lt b

、

z\lt c

，则下列哪些不等式恒成立？

I.

xy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II.

x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III.

xyz\lt abc

Which of the following inequalities are satisfied for all real numbers

a,

b,

c,

x,

y,

z

which satisfy

x\lt a,

y\lt b,

and

z\lt c?

I.

xy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II.

x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III.

xyz\lt abc

没有一个恒成立。

None are satisfied.

只有

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

只有

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

只有

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

全部恒成立。

All are satisfied.

答案：A

知识点：不等式反例

难度评级：1710

小提示：

变量均为实数，因此一个数增大时，它的平方或与其他数的乘积不一定增大

The variables are real, so increasing a number need not increase its square or its products

大提示：

尝试取

a=b=1,\ c=-1

、

x=y=0,\ z=-10

Try

a=b=1,\ c=-1,

x=y=0,\ z=-10

解答：

取

a=b=1,\ c=-1

和

x=y=0,\ z=-10

。题设的三个不等式均满足。但是 I 变为

0\lt-1

，II 变为

100\lt3

，III 变为

0\lt-1

，全都不成立。因此没有一个不等式恒成立。

因此，正确答案是 A。

Take

a=b=1,\ c=-1,

and

x=y=0,\ z=-10.

The required three coordinate inequalities hold. But I becomes

0\lt-1,

II becomes

100\lt3,

and III becomes

0\lt-1,

all false. Thus none is universally true.

Therefore, the correct answer is A.

1975 AMC 12 第 3 题

答案：A

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题