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1976 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

在所附图中，

AB

在

A

点与圆心为

O

的圆相切；点

D

在圆内；

DB

与圆交于

C

。若

BC=DC=3

、

OD=2

、

AB=6

，则圆的半径为

In the adjoining figure,

AB

is tangent at

A

to the circle with center

O;

point

D

is interior to the circle; and

DB

intersects the circle at

C.

If

BC=DC=3,

OD=2

and

AB=6,

then the radius of the circle is

3+\sqrt3

\frac{15}{\pi}

\frac92

2\sqrt6

\sqrt{22}

答案：E

知识点：圆切线圆幂

难度评级：2130

小提示：

延长

BD

，使其越过

D

后再次与圆交于

E

Extend

BD

through

D

to meet the circle again at

E

大提示：

先用

BC\cdot BE=AB^2

，再利用圆内点

D

的幂

Use

BC\cdot BE=AB^2

first, then use the power of interior point

D

解答：

延长

BD

，使其越过

D

后与圆交于

E

。因为

BC=3

、

BD=6

，切割线定理给出

3\cdot BE=AB^2=36\text{，}

所以

BE=12

、

DE=6

。点

D

的幂满足

\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2 \end{aligned}\text{，}

因而

3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4

。所以

R^2=22

，且

R=\sqrt{22}

。

所以正确答案是 E。

Extend

BD

through

D

to meet the circle at

E.

Since

BC=3

and

BD=6,

the tangent-secant theorem gives

3\cdot BE=AB^2=36,

so

BE=12

and

DE=6.

The power of

D

gives

\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}

hence

3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.

Thus

R^2=22

and

R=\sqrt{22}.

Therefore, the correct answer is E.

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