若 b>1 、 sin x>0 、 cos x>0 ，且 log_bsin x=a ，则 log_bcos x 等于

1980 AMC 12 第 18 题

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18.

若

b\gt1

、

\sin x\gt0

、

\cos x\gt0

，且

\log_b\sin x=a

，则

\log_b\cos x

等于

b\gt1,

\sin x\gt0,

\cos x\gt0

and

\log_b\sin x=a,

then

\log_b\cos x

equals

2\log_b(1-b^{\frac{a}{2}})

\sqrt{1-a^2}

b^{a^2}

\frac12\log_b(1-b^{2a})

以上都不是

none of these

把

\log_b\sin x=a

改写为指数方程

Convert

\log_b\sin x=a

into an exponential equation

利用

\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}

以及

\cos x

为正

Use

\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}

and the positivity of

\cos x

由

\sin x=b^a

可得

\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}\text{。}

因此

\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a})\text{。}

因此，正确答案是 D。

We have

\sin x=b^a,

\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}.

Therefore

\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Therefore, the correct answer is D.