1952 AMC 12 第 18 题

Question

\log p+\log q=\log(p+q)

成立的必要条件是：

\log p+\log q=\log(p+q)

only if:

p=q=0

p=\dfrac{q^2}{1-q}

p=q=1

p=\dfrac q{q-1}

p=\dfrac q{q+1}

先合并左边的对数，再令两个正真数相等

Combine the logarithms on the left before equating their positive arguments

由

pq=p+q

解出

p

Solve

pq=p+q

for

p

利用对数乘积法则，原方程化为

\log(pq)=\log(p+q)

，所以两个正真数必须满足

pq=p+q\text{。}

因此

p(q-1)=q

，得到

p=\frac{q}{q-1}

。允许的取值满足

q\gt1

，这也保证所有对数的真数为正。

因此，正确答案是 D。

The logarithm product rule changes the equation to

\log(pq)=\log(p+q),

so the positive arguments must satisfy

pq=p+q.

Therefore

p(q-1)=q,

giving

p=\frac{q}{q-1}.

Its admissible values have

q\gt1,

which also keeps all logarithm arguments positive.

Thus, the correct answer is D.

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