1972 AMC 12 第 18 题

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18.

梯形 ABCDABCD 的底边 ABAB 长度是底边 DCDC 的两倍,EE 为两条对角线的交点。若对角线 ACAC 的长度为 1111,则线段 ECEC 的长度等于:
Let ABCDABCD be a trapezoid with the measure of base ABAB twice that of base DC,DC, and let EE be the point of intersection of the diagonals. If the measure of diagonal ACAC is 11,11, then that of segment ECEC is equal to:
3233\frac23
3343\frac34
44
3123\frac12
33
答案:A
知识点:梯形相似比与比例
小提示:
三角形 ABEABE 与 CDECDE 相似
Triangles ABEABE and CDECDE are similar
大提示:
底边之比 AB:DC=2:1AB:DC=2:1 也等于 AE:ECAE:EC
The base ratio AB:DC=2:1AB:DC=2:1 also equals AE:ECAE:EC
解答:
因为 AB∥DCAB\parallel DC,所以三角形 ABEABE 与 CDECDE 相似。因此 AE:EC=AB:DC=2:1。 AE:EC=AB:DC=2:1\text{。}从而 AC=AE+EC=3EC=11AC=AE+EC=3EC=11,所以 EC=113=323。 EC=\frac{11}{3}=3\frac23\text{。}
因此,正确答案是 A。
Since AB∥DC,AB\parallel DC, triangles ABEABE and CDECDE are similar. Hence AE:EC=AB:DC=2:1. AE:EC=AB:DC=2:1. Thus AC=AE+EC=3EC=11,AC=AE+EC=3EC=11, so EC=113=323. EC=\frac{11}{3}=3\frac23.
Therefore, the correct answer is A.
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