1982 AMC 12 第 18 题

Question

在右图的长方体中，

\angle DHG=45^\circ

，且

\angle FHB=60^\circ

。求

\angle BHD

的余弦值。

In the adjoining figure of a rectangular solid,

\angle DHG=45^\circ

and

\angle FHB=60^\circ.

Find the cosine of

\angle BHD.

\frac{\sqrt3}{6}

\frac{\sqrt2}{6}

\frac{\sqrt6}{3}

\frac{\sqrt6}{4}

\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

以

H

为原点，沿三条两两垂直的棱建立坐标系

Assign coordinates at

H

along the three mutually perpendicular edges

将两个已知角转化为三条棱长之间的关系，再使用点积

Translate the two given angles into relationships among the three edge lengths, then use a dot product

令

H=(0,0,0)

、

F=(u,0,0)

、

G=(0,v,0)

，且

C=(0,0,w)

。则

B=(u,0,w)

，且

D=(0,v,w)

。由

60^\circ

的条件得

w=\sqrt3u

，而由

45^\circ

的条件得

v=w

。因此

\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案为 D。

Let

H=(0,0,0),

F=(u,0,0),

G=(0,v,0),

and

C=(0,0,w).

Then

B=(u,0,w)

and

D=(0,v,w).

The

60^\circ

condition gives

w=\sqrt3u,

while the

45^\circ

condition gives

v=w.

Hence

\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

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