1973 AMC 12 第 18 题

Question

若

p\ge5

为质数，则

24

整除

p^2-1

If

p\ge5

is a prime number, then

24

divides

p^2-1

without remainder

从不成立

never

仅有时成立

sometimes only

恒成立

always

仅当

p=5

时成立

only if

p=5

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：整除性质数模运算

难度评级：1610

小提示：

因式分解

p^2-1=(p-1)(p+1)

Factor

p^2-1=(p-1)(p+1)

大提示：

在三个连续整数

p-1

、

p

、

p+1

中找出因子

3

与

8

的来源

Among the three consecutive integers

p-1,

p,

p+1,

locate factors of

3

and

8

解答：

质数

p\ge5

为奇数，所以

p-1

与

p+1

是两个连续偶数。其中一个能被

4

整除，因此它们的乘积能被

8

整除。在三个连续整数

p-1

、

p

、

p+1

中，有一个能被

3

整除。它不可能是

p

，因为

p\ge5

是质数，所以

3

也整除

(p-1)(p+1)

。由于

3

与

8

互质，

(p-1)(p+1)=p^2-1

恒能被

24

整除。

所以正确答案是 C。

A prime

p\ge5

is odd, so

p-1

and

p+1

are consecutive even integers. One is divisible by

4,

making their product divisible by

8.

Among the three consecutive integers

p-1,

p,

p+1,

one is divisible by

3.

It cannot be

p,

since

p\ge5

is prime, so

3

also divides

(p-1)(p+1).

Because

3

and

8

are relatively prime,

(p-1)(p+1)=p^2-1

is always divisible by

24.

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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