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1989 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

使

x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}

为有理数的所有实数

x

的集合，是所有下列哪一类数的集合？

The set of all real numbers

x

for which

x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}

is a rational number is the set of all

整数

x

integers

x

有理数

x

rational

x

实数

x

real

x

满足下列条件的

x

：

\sqrt{x^2+1}

为有理数

x

for which

\sqrt{x^2+1}

is rational

满足下列条件的

x

：

x+\sqrt{x^2+1}

为有理数

x

for which

x+\sqrt{x^2+1}

is rational

答案：B

知识点：分母有理化根式代数变形

难度评级：1740

小提示：

将倒数项的分母有理化

Rationalize the reciprocal term

大提示：

共轭式

\sqrt{x^2+1}-x

正是分母的倒数

The conjugate

\sqrt{x^2+1}-x

is the reciprocal of the denominator

解答：

分母有理化可得

\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x\text{。}

因此整个式子等于

2x

。它是有理数，当且仅当

x

是有理数。

所以正确答案是 B。

Rationalizing gives

\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x.

The entire expression is therefore

2x.

It is rational exactly when

x

is rational.

Thus the correct answer is B.

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