1974 AMC 12 第 18 题

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18.

若

\log_8 3=p

，且

\log_3 5=q

，则用

p

和

q

表示的

\log_{10}5

等于

\log_8 3=p

and

\log_3 5=q,

then, in terms of

p

and

q,

\log_{10}5

equals

pq

\frac{3p+q}{5}

\frac{1+3pq}{p+q}

\frac{3pq}{1+3pq}

p^2+q^2

知识点：对数

将所有对数都换成以

2

为底

Convert every logarithm to base

2

已知条件可推出

\log_2 3=3p

和

\log_2 5=3pq

The givens imply

\log_2 3=3p

and

\log_2 5=3pq

由

p=\log_8 3

可得

\log_2 3=3p

。因此

\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq\text{。}

又因为

\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq

，所以

\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}\text{。}

因此，正确答案是 D。

From

p=\log_8 3,

\log_2 3=3p.

Therefore

\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.

Since

\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,

\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.

Therefore, the correct answer is D.

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