1977 AMC 12 第 15 题

Question

在所附图形中，三个圆两两外切，且三角形的每一边都与其中两个圆相切。若每个圆的半径为三，则三角形的周长为

Each of the three circles in the adjoining figure is externally tangent to the other two, and each side of the triangle is tangent to two of the circles. If each circle has radius three, then the perimeter of the triangle is

36+9\sqrt2

36+6\sqrt3

36+9\sqrt3

18+18\sqrt3

45

答案：D

知识点：相切圆等边三角形内切圆、内心与内切圆半径

难度评级：2080

小提示：

三个圆心构成边长为

6

的等边三角形

The three circle centers form an equilateral triangle of side

6

大提示：

把外侧各边看作平行外移的直线，并比较两个等边三角形的内切圆半径

View the outer sides as parallel offsets and compare the inradii of two equilateral triangles

解答：

三个圆心构成边长为

6

的等边三角形，其内切圆半径为

\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3

。外部三角形的每一边都是向外平移三单位后的平行切线，所以外部三角形的内切圆半径为

3+\sqrt3

。内切圆半径为

r

的等边三角形边长为

2\sqrt3r

，因此外部三角形的每条边长为

2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3\text{。}

周长为

3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3

。

因此，正确答案是 D。

The circle centers form an equilateral triangle of side

6,

whose inradius is

\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.

Each side of the outer triangle is a parallel tangent line three units farther out, so the outer triangle has inradius

3+\sqrt3.

An equilateral triangle of inradius

r

has side

2\sqrt3r,

hence each outer side is

2\sqrt3(3+\sqrt3)=6+6\sqrt3.

The perimeter is

3(6+6\sqrt3)=18+18\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.

1977 AMC 12 第 15 题

答案：D

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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