1979 AMC 12 第 16 题

Question

面积为

A_1

的圆位于一个面积为

A_1+A_2

的大圆内部。若大圆的半径为

3

，且

A_1

、

A_2

、

A_1+A_2

成等差数列，则小圆的半径为

A circle with area

A_1

is contained in the interior of a larger circle with area

A_1+A_2.

If the radius of the larger circle is

3,

and if

A_1,

A_2,

A_1+A_2

is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle is

\frac{\sqrt3}{2}

1

\frac2{\sqrt3}

\frac32

\sqrt3

利用等差数列中间项的条件列出三个面积的关系

Use the middle-term condition for the three areas in arithmetic progression

把大圆的面积表示成

A_1

的倍数

Express the larger circle’s area as a multiple of

A_1

等差数列条件给出

2A_2=A_1+(A_1+A_2)\text{，}

因此

A_2=2A_1

。所以大圆面积为

3A_1=9\pi

，从而

A_1=3\pi

。若小圆半径为

r

，则

\pi r^2=3\pi

，所以

r=\sqrt3

。

因此，正确答案是 E。

The progression condition gives

2A_2=A_1+(A_1+A_2),

so

A_2=2A_1.

Hence the larger area is

3A_1=9\pi,

and

A_1=3\pi.

If the smaller radius is

r,

then

\pi r^2=3\pi,

so

r=\sqrt3.

Therefore, the correct answer is E.

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