1979 AMC 12 Problema 16

Question

Un círculo de área

A_1

está contenido en el interior de un círculo mayor de área

A_1+A_2.

Si el radio del círculo mayor es

3,

y

A_1,

A_2,

y

A_1+A_2

forman una progresión aritmética, entonces el radio del círculo menor es

A circle with area

A_1

is contained in the interior of a larger circle with area

A_1+A_2.

If the radius of the larger circle is

3,

and if

A_1,

A_2,

A_1+A_2

is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle is

\frac{\sqrt3}{2}

1

\frac2{\sqrt3}

\frac32

\sqrt3

Usa la condición del término medio para las tres áreas en progresión aritmética

Use the middle-term condition for the three areas in arithmetic progression

Expresa el área del círculo mayor como un múltiplo de

A_1

Express the larger circle’s area as a multiple of

A_1

La condición de progresión da

2A_2=A_1+(A_1+A_2),

por lo que

A_2=2A_1.

Así, el área mayor es

3A_1=9\pi,

y

A_1=3\pi.

Si el radio menor es

r,

entonces

\pi r^2=3\pi,

y por ello

r=\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The progression condition gives

2A_2=A_1+(A_1+A_2),

so

A_2=2A_1.

Hence the larger area is

3A_1=9\pi,

and

A_1=3\pi.

If the smaller radius is

r,

then

\pi r^2=3\pi,

so

r=\sqrt3.

Therefore, the correct answer is E.

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