1982 AMC 12 第 29 题
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29.
设 、 和 是三个和为 的正实数。若其中任何一个数都不超过另一个数的两倍，则乘积 的最小可能值为
Let and be three positive real numbers whose sum is If no one of these numbers is more than twice any other, then the minimum possible value of the product is
以上都不是
none of these
小提示：
将变量排序为 ；此时起作用的约束为
Order the variables ; then the active constraint is
大提示：
最小值在边界 上取得，此时
A minimum occurs on the boundary where
解答：
将三者排序为 。取得最小值时三者的差异最大，所以 ，且 。该顺序要求 。因而 。它唯一的区间内部临界点是最大值点，所以比较两个端点：相应的值分别为 和 。最小值为 。
因此，正确答案为 A。
Order At a minimum the spread is maximal, so and The ordering requires Thus Its only interior critical point is a maximum, so compare endpoints: the values are and respectively. The minimum is
Therefore, the correct answer is A.
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