1982 AMC 12 Problema 29

Question

Sean

x,

y,

y

z

tres números reales positivos cuya suma es

1.

Si ninguno de ellos es mayor que el doble de otro, entonces el valor mínimo posible del producto

xyz

es

Let

x,

y,

and

z

be three positive real numbers whose sum is

1.

If no one of these numbers is more than twice any other, then the minimum possible value of the product

xyz

is

\frac1{32}

\frac1{36}

\frac4{125}

\frac1{127}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Ordena las variables como

x\le y\le z

; entonces la restricción activa es

z\le2x

Order the variables

x\le y\le z

; then the active constraint is

z\le2x

Pista grande:

El mínimo se alcanza en la frontera

z=2x,

donde

y=1-3x

A minimum occurs on the boundary

z=2x,

where

y=1-3x

Solución:

Ordena

x\le y\le z.

En el mínimo, la separación entre las variables es máxima, así que

z=2x

y

y=1-3x.

El orden exige

\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.

Por tanto,

xyz=2x^2(1-3x).

Su único punto crítico interior es un máximo, de modo que comparamos los extremos: los valores son

\frac{4}{125}

y

\frac{1}{32},

respectivamente. El mínimo es

\frac{1}{32}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Order

x\le y\le z.

At a minimum the spread is maximal, so

z=2x

and

y=1-3x.

The ordering requires

\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.

Thus

xyz=2x^2(1-3x).

Its only interior critical point is a maximum, so compare endpoints: the values are

\frac{4}{125}

and

\frac{1}{32},

respectively. The minimum is

\frac{1}{32}.

Therefore, the correct answer is A.