1982 AMC 12 Problema 9

Question

Una recta vertical divide el triángulo de vértices

(0,0),

(1,1)

y

(9,1)

en el plano

xy

en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta es

x=

A vertical line divides the triangle with vertices

(0,0),

(1,1)

and

(9,1)

in the

xy

-plane into two regions of equal area. The equation of the line is

x=

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Para

1\le x\le9,

el triángulo está entre

y=\frac{x}{9}

y

y=1

For

1\le x\le9,

the triangle lies between

y=\frac{x}{9}

and

y=1

Iguala el área acumulada a la mitad del área total del triángulo

Set the accumulated area to one half of the triangle’s total area

El triángulo tiene área

4.

La parte con

0\le x\le1

tiene área

\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.

Para un corte

x=t\ge1,

el área a su izquierda es

\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.

Al igualarla a

2

se obtiene

t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},

cuya solución pertinente es

t=3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The triangle has area

4.

The portion with

0\le x\le1

has area

\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.

For a cut

x=t\ge1,

the area to its left is therefore

\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.

Setting this equal to

2

gives

t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},

whose relevant solution is

t=3.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 9 en otros años