1983 AMC 12 第 20 题

Question

若

\tan\alpha

和

\tan\beta

是

x^2-px+q=0

的根，而

\cot\alpha

和

\cot\beta

是

x^2-rx+s=0

的根，则

rs

必定为

If

\tan\alpha

and

\tan\beta

are the roots of

x^2-px+q=0,

and

\cot\alpha

and

\cot\beta

are the roots of

x^2-rx+s=0,

then

rs

is necessarily

pq

\frac1{pq}

\frac{p}{q^2}

\frac{q}{p^2}

\frac pq

答案：C

知识点：韦达定理分式方程

难度评级：1850

小提示：

第二个二次方程的根是第一个二次方程各根的倒数

The roots of the second quadratic are reciprocals of the roots of the first

大提示：

利用韦达定理，以

p,q

表示它们的和与积

Use Vieta’s formulas to express their sum and product in terms of

p,q

解答：

令第一组根为

u=\tan\alpha

和

v=\tan\beta

。则

u+v=p

，且

uv=q

。第二组根为

\frac{1}{u}

和

\frac{1}{v}

，所以

\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q \end{aligned}\text{。}

因此

rs=\frac{p}{q^2}

。

所以正确答案是 C。

Let the first roots be

u=\tan\alpha

and

v=\tan\beta.

Then

u+v=p

and

uv=q.

The second roots are

\frac{1}{u}

and

\frac{1}{v},

so

\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}

Therefore

rs=\frac{p}{q^2}.

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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