1973 AMC 12 第 20 题

Question

一名牛仔位于一条正向东流的河流以南

4

英里处。他还位于自己的小屋以西

8

英里、以北

7

英里处。他想先到河边让马饮水，再回家。完成这段行程的最短路程（英里）为

A cowboy is

4

miles south of a stream which flows due east. He is also

8

miles west and

7

miles north of his cabin. He wishes to water his horse at the stream and return home. The shortest distance (in miles) he can travel and accomplish this is

4+\sqrt{185}

16

17

18

\sqrt{32}+\sqrt{137}

答案：C

知识点：反射（几何）距离公式最优化

难度评级：1850

小提示：

将牛仔的起点关于笔直的河流作镜像

Reflect the cowboy’s starting point across the straight stream

大提示：

镜像后，途经河流的两段路程变成通向小屋的一条直线段

After reflection, the two-leg trip through the stream becomes one straight segment to the cabin

解答：

将河流取为

x

轴，并把牛仔置于

C=(0,-4)

。则小屋位于

H=(8,-11)

。将

C

关于河流反射到

D=(0,4)

。对河流上的任意点

S

，有

CS=DS

，所以使

CS+SH

最小等价于使

DS+SH

最小。当

D

、

S

、

H

共线时取得最小值。最短路程为

DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\text{。}

所以正确答案是 C。

Take the stream as the

x

-axis and put the cowboy at

C=(0,-4).

His cabin is then

H=(8,-11).

Reflect

C

across the stream to

D=(0,4).

For any point

S

on the stream,

CS=DS,

so minimizing

CS+SH

is the same as minimizing

DS+SH.

This occurs when

D,

S,

H

are collinear. The minimum distance is

DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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