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1997 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

下列哪个整数可以表示为

100

个连续正整数之和？

Which one of the following integers can be expressed as the sum of

100

consecutive positive integers?

1{,}627{,}384{,}950

2{,}345{,}678{,}910

3{,}579{,}111{,}300

4{,}692{,}581{,}470

5{,}815{,}937{,}260

答案：A

知识点：arithmetic sequences 整除性

难度评级：1410

小提示：

将这些数写成

a+1,a+2,\ldots,a+100

Write the terms as

a+1,a+2,\ldots,a+100

大提示：

它们的和模

100

必须与

50

同余

Their sum must be congruent to

50

modulo

100

解答：

它们的和为

100a+(1+\cdots+100)

=100a+5050

，所以末两位是

50

。只有

1,627,384,950

具有这一性质，并且对应的

a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}

是正整数。因此正确答案是 A。

The sum is

100a+(1+\cdots+100)

=100a+5050,

so it ends in

50.

Only

1,627,384,950

has that property, and it gives the positive integer

a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.

Thus A is correct.

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