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1972 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

若

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}

，其中

a\gt b\gt0

且

0^\circ\lt x\lt90^\circ

，则

\sin x

等于：

If

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},

where

a\gt b\gt0

and

0^\circ\lt x\lt90^\circ,

then

\sin x

is equal to:

\dfrac ab

\dfrac ba

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}

\dfrac{2ab}{a^2+b^2}

答案：E

知识点：三角恒等式直角三角形勾股定理代数变形

难度评级：1850

小提示：

把正切看作两条直角边

2ab

与

a^2-b^2

的比

Model the tangent as the ratio of legs

2ab

and

a^2-b^2

大提示：

相应斜边可借助

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

化简

The corresponding hypotenuse simplifies because

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

解答：

取一个对边为

2ab

、邻边为

a^2-b^2

的直角三角形。其斜边为

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2 \end{aligned}\text{。}

因此

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Use a right triangle with opposite leg

2ab

and adjacent leg

a^2-b^2.

Its hypotenuse is

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}

Hence

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.

Therefore, the correct answer is E.

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