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1951 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

将表达式

(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})

化简，并用负指数表示，结果等于：

When simplified and expressed with negative exponents, the expression

(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})

is equal to:

x^{-2}+2x^{-1}y^{-1}+y^{-2}

x^{-2}+2^{-1}x^{-1}y^{-1}+y^{-2}

x^{-1}y^{-1}

x^{-2}+y^{-2}

\dfrac{1}{x^{-1}y^{-1}}

答案：C

知识点：代数变形指数

难度评级：1320

小提示：

将

x^{-1}+y^{-1}

通分成一个分式

Rewrite

x^{-1}+y^{-1}

as one fraction

大提示：

两个倒数通分后，因式

x+y

可以约去

The factor

x+y

cancels after combining the reciprocals

解答：

当

x,y

均不为零且

x+y\ne0

时，

\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

For nonzero

x,y

with

x+y\ne0,

\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

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