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1960 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

在

\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8

的展开式中，

x^7

的系数是：

The coefficient of

x^7

in the expansion of

\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8

is:

56

-56

14

-14

0

答案：D

知识点：二项式定理指数

难度评级：1570

小提示：

在含有

k

个

-\frac{2}{x}

因子的项中，确定

x

的指数

In a term using

k

copies of

-\frac{2}{x},

determine the exponent of

x

大提示：

解

16-3k=7

，再计算相应的二项式系数

Solve

16-3k=7

and then compute that binomial coefficient

解答：

选用

k

个

-\frac{2}{x}

因子的项，其指数为

2(8-k)-k=16-3k\text{。}

要得到

x^7

，需要

k=3

。其系数为

\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14\text{。}

因此，正确答案是 D。

The term using

k

factors of

-\frac{2}{x}

has exponent

2(8-k)-k=16-3k.

To obtain

x^7,

we need

k=3.

Its coefficient is

\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14.

Thus, the correct answer is D.

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