1981 AMC 12 第 20 题

Question

一束光从点

A

出发，在同一平面内传播并反射

n

次，这些反射发生在直线

AD

与

CD

之间；随后它垂直射到点

B

（该点可以在

AD

或

CD

上），再沿原路返回

A

。（如附图所示，光线在每个反射点形成两个相等的角。图中画出的是

n=3

时的光路。）若

\angle CDA=8^\circ

，则

n

的最大可能值是多少？

A ray of light originates from point

A

and travels in a plane, being reflected

n

times between lines

AD

and

CD,

before striking a point

B

(which may be on

AD

or

CD

) perpendicularly and retracing its path to

A.

(At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for

n=3.

) If

\angle CDA=8^\circ,

what is the largest value

n

can have?

6

10

38

98

不存在最大值。

There is no largest value.

答案：B

知识点：反射（几何）导角不等式

难度评级：1950

小提示：

追踪光线与每一条连续反射直线之间的锐角

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

大提示：

每次反射都会使该角增加楔形角

8^\circ

Each reflection advances that angle by the wedge angle

8^\circ

解答：

设

\theta\gt0

为光线起初与

AD

之间的锐角。连续的外角关系表明，每次反射都会使相应的锐角增加

8^\circ

。最后垂直射到边界时，

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ\text{。}

因此

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0

，所以

n\lt\frac{82}{8}=10.25

。最大可能整数为

10

，此时

\theta=2^\circ

。

所以正确答案是 B。

Let

\theta\gt0

be the initial acute angle between the ray and

AD.

Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by

8^\circ

at each reflection. At the final perpendicular strike,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Thus

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

so

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

The greatest integer possible is

10,

attained when

\theta=2^\circ.

Therefore, the correct answer is B.

1981 AMC 12 第 20 题

答案：B

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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