1984 AMC 12 第 15 题

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15.

若

\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x

，则

x

的一个可能值为

\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,

then one value for

x

18^\circ

30^\circ

36^\circ

45^\circ

60^\circ

将所有项移到等式一边，并识别余弦的和角公式

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

使用

\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x

=\cos5x

Use

\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x

=\cos5x

原方程等价于

\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0 \end{aligned}\text{。}

因此

5x=90^\circ+180^\circ k

。取

k=0

，得到题目所列的值

x=18^\circ

。

所以正确答案是 A。

The equation is equivalent to

\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}

Therefore

5x=90^\circ+180^\circ k.

Taking

k=0

gives

x=18^\circ,

the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

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