1984 AMC 12 Problema 23

Question

\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}

es igual a

\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}

equals

\tan10^\circ+\tan20^\circ

\tan30^\circ

\frac12(\tan10^\circ+\tan20^\circ)

\tan15^\circ

\frac14\tan60^\circ

Aplica las identidades de suma a producto tanto al numerador como al denominador

Apply the sum-to-product identities to both numerator and denominator

Las dos sumas transformadas contienen el mismo factor

\cos5^\circ

Both transformed sums contain the same

\cos5^\circ

factor

Sea

R

la razón dada. Por las identidades de suma a producto,

\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

R

denote the given ratio. By the sum-to-product identities,

\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 23 en otros años