1984 AMC 12 第 28 题

Question

满足

\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}

的不同整数对

(x,y)

的个数为

The number of distinct pairs of integers

(x,y)

such that

\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}

is

0

1

2

3

7

答案：D

知识点：根式完全平方数数对计数

难度评级：2380

小提示：

利用

1984=31\cdot8^2

，并将两个被开方数写成具有相同无平方因子部分的形式

Use

1984=31\cdot8^2

and write both radicands with a common squarefree part

大提示：

令

x=31u^2,\ y=31v^2

，并计算满足

u\lt v

且

u+v=8

的正整数的组数

Set

x=31u^2,\ y=31v^2

and count positive integers

u\lt v

with

u+v=8

解答：

因为

\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31}

，两个根式必须具有相同的无平方因子部分

31

。写成

x=31u^2

和

y=31v^2

，其中

u,v

为正整数。于是

u+v=8,\qquad u\lt v\text{。}

可能的情况为

(u,v)=(1,7)

、

(2,6)

、

(3,5)

，得到三个不同的整数对

(x,y)

。

所以正确答案是 D。

Because

\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},

the two radicals must have common squarefree part

31.

Write

x=31u^2

and

y=31v^2

for positive integers

u,v.

Then

u+v=8,\qquad u\lt v.

The possibilities are

(u,v)=(1,7),

(2,6),

and

(3,5),

producing three distinct pairs

(x,y).

Therefore, the correct answer is D.

1984 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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