1984 AMC 12 Problema 28

Question

El número de pares distintos de enteros

(x,y)

tales que

\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}

es

The number of distinct pairs of integers

(x,y)

such that

\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}

is

0

1

2

3

7

Respuesta: D

Conceptos:radical cuadrado perfecto conteo de pares

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa

1984=31\cdot8^2

y escribe ambos radicandos con la misma parte libre de cuadrados

Use

1984=31\cdot8^2

and write both radicands with a common squarefree part

Pista grande:

Haz

x=31u^2,\ y=31v^2

y cuenta los enteros positivos

u\lt v

tales que

u+v=8

Set

x=31u^2,\ y=31v^2

and count positive integers

u\lt v

with

u+v=8

Solución:

Como

\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},

los dos radicales deben tener la misma parte libre de cuadrados,

31.

Escribe

x=31u^2

y

y=31v^2

para enteros positivos

u,v.

Entonces

u+v=8,\qquad u\lt v.

Las posibilidades son

(u,v)=(1,7),

(2,6),

y

(3,5),

que producen tres pares distintos

(x,y).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},

the two radicals must have common squarefree part

31.

Write

x=31u^2

and

y=31v^2

for positive integers

u,v.

Then

u+v=8,\qquad u\lt v.

The possibilities are

(u,v)=(1,7),

(2,6),

and

(3,5),

producing three distinct pairs

(x,y).

Therefore, the correct answer is D.