1985 AMC 12 第 30 题

Question

设

\lfloor x\rfloor

为小于或等于

x

的最大整数。则方程

4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0

的实数解个数为

Let

\lfloor x\rfloor

be the greatest integer less than or equal to

x.

Then the number of real solutions to

4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0

is

0

1

2

3

4

答案：E

知识点：分类讨论取整函数不等式二次方程

难度评级：2380

小提示：

令

n=\lfloor x\rfloor

，并由方程解出

x^2

Set

n=\lfloor x\rfloor

and solve the equation for

x^2

大提示：

施加

n\le x\lt n+1

，确定哪些整数

n

可行

Enforce

n\le x\lt n+1

to determine which integer values of

n

work

解答：

令

n=\lfloor x\rfloor

。解必须为正，并满足

\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1\text{。} \end{aligned}

下界不等式等价于

4n^2-40n+51\le0\text{，}

所以

n=2,3,\ldots,8

。上界不等式等价于

4n^2-32n+55\gt0\text{。}

在

2,\ldots,8

中，它恰对

n=2,6,7,8

成立。每个区间贡献一个根，所以共有四个实数解。

因此正确答案是 E。

Let

n=\lfloor x\rfloor.

A solution must be positive and satisfy

\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}

The lower inequality is equivalent to

4n^2-40n+51\le0,

so

n=2,3,\ldots,8.

The upper inequality is equivalent to

4n^2-32n+55\gt0.

Among

2,\ldots,8,

this holds exactly for

n=2,6,7,8.

Each interval contributes one root, so there are four real solutions.

Therefore the correct answer is E.

1985 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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