1985 AMC 12 Problema 29

Question

En sus representaciones en base

10

, el entero

a

consta de una secuencia de

1985

ochos y el entero

b

de una secuencia de

1985

cincos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la representación en base

10

del entero

9ab

?

In their base

10

representations, the integer

a

consists of a sequence of

1985

eights and the integer

b

consists of a sequence of

1985

fives. What is the sum of the digits of the base

10

representation of the integer

9ab?

15880

17856

17865

17874

19851

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica dígitos reconocimiento de patrones valor posicional

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Escribe una cadena de

k

dígitos iguales usando

R=\frac{10^k-1}{9}

Write a string of

k

identical digits using

R=\frac{10^k-1}{9}

Pista grande:

Después de quitar el cero final, expresa el producto como una cadena de

2k

cuatros menos una cadena de

k

ochos

After removing the terminal zero, express the product as a string of

2k

fours minus a string of

k

eights

Solución:

Sean

k=1985

y

R=\frac{10^k-1}{9}.

Entonces

a=8R,

b=5R,

y

9ab

termina en

0.

Quitar ese cero no cambia la suma de dígitos y deja

\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}

Así,

N

es una cadena de

2k

cuatros menos una cadena de

k

ochos. La resta produce

k-1

cuatros, luego

3,

después

k-1

cincos y finalmente

6.

Su suma de dígitos es

\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}

La respuesta correcta es C.

Let

k=1985

and

R=\frac{10^k-1}{9}.

Then

a=8R,

b=5R,

and

9ab

ends in

0.

Removing that zero does not change the digit sum and leaves

\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}

Thus

N

is a string of

2k

fours minus a string of

k

eights. The subtraction produces

k-1

fours, then

3,

then

k-1

fives, then

6.

Its digit sum is

\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}

Therefore the correct answer is C.