1986 AMC 12 第 15 题

Question

一名学生试图计算平均数

A

，即

x

、

y

、

z

的平均数。他先求

x

与

y

的平均数，再求所得结果与

z

的平均数。只要

x\lt y\lt z

，该学生最后得到的结果就

A student attempted to compute the average,

A,

of

x,

y

and

z

by computing the average of

x

and

y,

and then computing the average of the result and

z.

Whenever

x\lt y\lt z,

the student’s final result is

正确

correct

总是小于

A

always less than

A

总是大于

A

always greater than

A

有时小于

A

，有时等于

A

sometimes less than

A

and sometimes equal to

A

有时大于

A

，有时等于

A

sometimes greater than

A

and sometimes equal to

A

答案：C

知识点：average 不等式 algebraic comparison

难度评级：1420

小提示：

分别写出正确的平均数和该学生所得结果的代数式

Write both the true average and the student’s result as algebraic expressions

大提示：

用该学生的结果减去正确的平均数，并利用

x\lt y\lt z

判断差的正负

Subtract the true average and use the order

x\lt y\lt z

to determine the sign

解答：

该学生得到的结果为

\frac{x+y+2z}{4}

，正确的平均数为

\frac{x+y+z}{3}

。两者之差为

\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}\text{。} \end{aligned}

由于

z\gt x

，且

z\gt y

，分子为正。因此，该学生的结果总是大于

A

。

所以正确答案是 C。

The student’s result is

\frac{x+y+2z}{4},

while the true average is

\frac{x+y+z}{3}.

Their difference is

\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}

Since

z\gt x

and

z\gt y,

the numerator is positive. The student’s result is therefore always greater than

A.

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 15 题

答案：C

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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