1987 AMC 12 第 16 题

Question

一位密码学家设计了如下正整数编码方法。首先，将整数表示成

5

进制。其次，建立

1

对

1

的对应关系，把

5

进制表示中出现的数字与集合

\{V,W,X,Y,Z\}

的元素对应起来。利用这一对应关系，密码学家发现，连续三个递增整数依次编码为

VYZ

、

VYX

、

VVW

。用

10

进制表示编码为

XYZ

的整数，结果是多少？

A cryptographer devises the following method for encoding positive integers. First, the integer is expressed in base

5.

Second, a

1

-to-

1

correspondence is established between the digits that appear in the expressions in base

5

and the elements of the set

\{V,W,X,Y,Z\}.

Using this correspondence, the cryptographer finds that three consecutive integers in increasing order are coded as

VYZ,

VYX,

VVW,

respectively. What is the base-

10

expression for the integer coded as

XYZ?

48

71

82

108

113

答案：D

知识点：base representation carrying 双射

难度评级：1860

小提示：

比较

VYZ

与

VYX

的末位数字

Compare the final digits of

VYZ

and

VYX

大提示：

从

VYX

变为

VVW

时必定发生了

5

进制进位

The change from

VYX

to

VVW

forces a base-

5

carry

解答：

由于

VYX

比

VYZ

大一，

X

所对应的数字比

Z

所对应的数字大一。下一次递增使

VYX

变为

VVW

，所以

X=4,\ W=0

、

Z=3

。进位使

Y

变为

V

，从而

Y=1,\ V=2

。因此

\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Because

VYX

is one more than

VYZ,

the digit for

X

is one more than the digit for

Z.

The next increment changes

VYX

to

VVW,

so

X=4,\ W=0,

and

Z=3.

The carry changes

Y

to

V,

leaving

Y=1,\ V=2.

Thus

\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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