1987 AMC 12 Problema 16

Question

Un criptógrafo idea el siguiente método para codificar enteros positivos. Primero, el entero se expresa en base

5.

Segundo, se establece una correspondencia de

1

a

1

entre los dígitos que aparecen en las expresiones en base

5

y los elementos del conjunto

\{V,W,X,Y,Z\}.

Con esta correspondencia, el criptógrafo descubre que tres enteros consecutivos en orden creciente se codifican como

VYZ,

VYX,

VVW,

respectivamente. ¿Cuál es la expresión en base

10

del entero codificado como

XYZ

?

A cryptographer devises the following method for encoding positive integers. First, the integer is expressed in base

5.

Second, a

1

-to-

1

correspondence is established between the digits that appear in the expressions in base

5

and the elements of the set

\{V,W,X,Y,Z\}.

Using this correspondence, the cryptographer finds that three consecutive integers in increasing order are coded as

VYZ,

VYX,

VVW,

respectively. What is the base-

10

expression for the integer coded as

XYZ?

48

71

82

108

113

Respuesta: D

Conceptos:base representation carrying biyección

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Compara los últimos dígitos de

VYZ

y

VYX

Compare the final digits of

VYZ

and

VYX

Pista grande:

El cambio de

VYX

a

VVW

obliga a que haya un acarreo en base

5

The change from

VYX

to

VVW

forces a base-

5

carry

Solución:

Como

VYX

es uno más que

VYZ,

el dígito correspondiente a

X

es uno más que el correspondiente a

Z.

El siguiente incremento cambia

VYX

a

VVW,

por lo que

X=4,\ W=0,

y

Z=3.

El acarreo cambia

Y

a

V,

de modo que

Y=1,\ V=2.

Así,

\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

VYX

is one more than

VYZ,

the digit for

X

is one more than the digit for

Z.

The next increment changes

VYX

to

VVW,

so

X=4,\ W=0,

and

Z=3.

The carry changes

Y

to

V,

leaving

Y=1,\ V=2.

Thus

\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}

Thus the correct answer is D.