1988 AMC 12 第 16 题

Question

ABC

与

A'B'C'

是边互相平行且中心相同的等边三角形，如图所示。边

BC

与边

B'C'

之间的距离是

\triangle ABC

的高的

\frac16

。

\triangle A'B'C'

的面积与

\triangle ABC

的面积之比为

ABC

and

A'B'C'

are equilateral triangles with parallel sides and the same center, as in the figure. The distance between side

BC

and side

B'C'

is

\frac16

the altitude of

\triangle ABC.

The ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC

is

\frac1{36}

\frac16

\frac14

\frac{\sqrt3}{4}

\frac{9+8\sqrt3}{36}

答案：C

知识点：equilateral triangles 重心 area scale factor

难度评级：1660

小提示：

重心到三角形底边的距离是高的三分之一

A centroid lies one-third of the altitude above the base

大提示：

利用两条平行底边之间的距离，求出两个三角形的高之间的关系

Relate the two altitudes using the distance between their parallel bases

解答：

设外、内两个三角形的高分别为

h

和

h'

。它们的共同中心位于

BC

上方

\frac{h}{3}

处，位于

B'C'

上方

\frac{h'}{3}

处。因此

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6}

，所以

h'=\frac{h}{2}

。面积按对应长度之比的平方缩放，故

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}

。

所以正确答案是 C。

Let the outer and inner altitudes be

h

and

h'.

Their common center is

\frac{h}{3}

above

BC

and

\frac{h'}{3}

above

B'C'.

Hence

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},

so

h'=\frac{h}{2}.

Areas scale as the square of corresponding lengths, giving

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.

Thus the correct answer is C.

1988 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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