1988 AMC 12 Problema 16

Question

ABC

y

A'B'C'

son triángulos equiláteros con lados paralelos y el mismo centro, como en la figura. La distancia entre el lado

BC

y el lado

B'C'

es

\frac16

de la altura de

\triangle ABC.

La razón entre el área de

\triangle A'B'C'

y la de

\triangle ABC

es

ABC

and

A'B'C'

are equilateral triangles with parallel sides and the same center, as in the figure. The distance between side

BC

and side

B'C'

is

\frac16

the altitude of

\triangle ABC.

The ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC

is

\frac1{36}

\frac16

\frac14

\frac{\sqrt3}{4}

\frac{9+8\sqrt3}{36}

Respuesta: C

Conceptos:equilateral triangles baricentro area scale factor

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un centroide se encuentra a un tercio de la altura sobre la base

A centroid lies one-third of the altitude above the base

Pista grande:

Relaciona las dos alturas usando la distancia entre sus bases paralelas

Relate the two altitudes using the distance between their parallel bases

Solución:

Sean

h

y

h'

las alturas exterior e interior. Su centro común está a

\frac{h}{3}

sobre

BC

y a

\frac{h'}{3}

sobre

B'C'.

Por tanto,

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},

así que

h'=\frac{h}{2}.

Las áreas varían como el cuadrado de las longitudes correspondientes, lo que da

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the outer and inner altitudes be

h

and

h'.

Their common center is

\frac{h}{3}

above

BC

and

\frac{h'}{3}

above

B'C'.

Hence

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},

so

h'=\frac{h}{2}.

Areas scale as the square of corresponding lengths, giving

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.

Thus the correct answer is C.