1995 AMC 12 Problema 23

Question

Los lados de un triángulo miden

11,

15,

y

k,

donde

k

es un entero. ¿Para cuántos valores de

k

es obtusángulo el triángulo?

The sides of a triangle have lengths

11,

15,

and

k,

where

k

is an integer. For how many values of

k

is the triangle obtuse?

5

7

12

13

14

Respuesta: D

Conceptos:desigualdad triangular obtuse triangles

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Primero usa la desigualdad triangular para acotar el entero

k

First use the triangle inequality to bound the integer

k

Pista grande:

Comprueba por separado la desigualdad de obtusidad cuando

15

es el lado mayor y cuando lo es

k

Test the obtuse inequality separately when

15

is longest and when

k

is longest

Solución:

La desigualdad triangular da

5\le k\le25.

Para

k\le15,

el lado mayor es

15,

y el triángulo es obtusángulo cuando

15^2\gt11^2+k^2,

lo que da

5\le k\le10,

es decir,

6

valores. Para

k\gt15,

es obtusángulo cuando

k^2\gt11^2+15^2=346,

lo que da

19\le k\le25,

o

7

valores. El total es

6+7=13,

por lo que la respuesta correcta es D.

The triangle inequality gives

5\le k\le25.

For

k\le15,

the longest side is

15,

and the triangle is obtuse when

15^2\gt11^2+k^2,

which gives

5\le k\le10,

or

6

values. For

k\gt15,

it is obtuse when

k^2\gt11^2+15^2=346,

giving

19\le k\le25,

or

7

values. The total is

6+7=13,

so the correct answer is D.