1953 AMC 12 Problema 32
Intenta el Problema 32 del 1953 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1953 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
32.
Se triseca cada ángulo de un rectángulo. Las intersecciones de cada par de trisectrices adyacentes al mismo lado siempre forman:
Each angle of a rectangle is trisected. The intersections of the pairs of trisectors adjacent to the same side always form:
un cuadrado
a square
un rectángulo
a rectangle
un paralelogramo con lados desiguales
a parallelogram with unequal sides
un rombo
a rhombus
un cuadrilátero sin propiedades especiales
a quadrilateral with no special properties
Respuesta: D
Pista pequeña:
Usa los ejes de simetría horizontal y vertical del rectángulo
Use the horizontal and vertical symmetry axes of the rectangle
Pista grande:
Los cuatro puntos de intersección forman diagonales perpendiculares que se bisecan
The four intersection points have perpendicular diagonals that bisect each other
Solución:
Para cada lado, las dos trisectrices adyacentes a él se encuentran sobre su mediatriz. Los puntos de intersección opuestos son reflejos respecto del centro del rectángulo, de modo que las diagonales del cuadrilátero resultante se bisecan. Una diagonal está sobre el eje de simetría horizontal y la otra sobre el eje vertical, por lo que son perpendiculares.
Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan es un paralelogramo; si además son perpendiculares, sus cuatro lados son iguales. Por consiguiente, el cuadrilátero es un rombo. No tiene que ser un cuadrado porque las dos diagonales no tienen que medir lo mismo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For each side, the two trisectors adjacent to it meet on that side’s perpendicular bisector. Opposite such intersection points are reflections across the center of the rectangle, so the diagonals of the resulting quadrilateral bisect each other. One diagonal lies on the horizontal symmetry axis and the other on the vertical symmetry axis, so they are perpendicular.
A quadrilateral whose diagonals bisect each other is a parallelogram; if those diagonals are perpendicular, its four sides are equal. Hence the quadrilateral is a rhombus. It need not be a square because the two diagonals need not have equal length.
Thus, the correct answer is D.