1961 AMC 12 Problema 4

Question

Sea

u

el conjunto formado por los cuadrados de los enteros positivos; así,

u

es el conjunto

1,

4,

9,

\ldots.

Si cierta operación aplicada a uno o más elementos del conjunto siempre produce otro elemento del conjunto, decimos que el conjunto es cerrado bajo esa operación. Entonces

u

es cerrado bajo:

Let the set consisting of the squares of the positive integers be called

u;

thus

u

is the set

1,

4,

9,

\ldots.

If a certain operation on one or more members of the set always yields a member of the set, we say that the set is closed under that operation. Then

u

is closed under:

la suma

addition

la multiplicación

multiplication

la división

division

la extracción de una raíz entera positiva

extraction of a positive integral root

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado perfecto contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Prueba cada operación con cuadrados arbitrarios

m^2

y

n^2

Test each operation on arbitrary squares

m^2

and

n^2

Pista grande:

El producto de dos cuadrados se escribe de inmediato como otro cuadrado

The product of two squares has an immediate square form

Solución:

Para enteros positivos

m,n,

m^2n^2=(mn)^2,

que vuelve a ser el cuadrado de un entero positivo. Las demás operaciones fallan; por ejemplo,

1+4=5,\frac{1}{4},

y

\sqrt4=2.

Así, la respuesta correcta es B.

For positive integers

m,n,

m^2n^2=(mn)^2,

which is again the square of a positive integer. The other operations fail, for example

1+4=5,\frac{1}{4},

and

\sqrt4=2.

Thus, the correct answer is B.