1967 AMC 12 Problema 33

Question

En este diagrama se construyen semicírculos sobre los diámetros

AB,

AC,

y

CB,

de modo que sean mutuamente tangentes. Si

CD\perp AB,

entonces la razón entre el área sombreada y el área de un círculo de radio

CD

es:

In this diagram semi-circles are constructed on diameters

AB,

AC,

and

CB,

so that they are mutually tangent. If

CD\perp AB,

then the ratio of the shaded area to the area of a circle with

CD

as radius is:

1:2

1:3

\sqrt3:7

1:4

\sqrt2:6

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo triángulo rectángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Resta del área del semicírculo grande las áreas de los dos pequeños

Subtract the two small semicircle areas from the large one

Pista grande:

En el triángulo rectángulo

ADB,

el teorema de la altura da

CD^2=AC\cdot CB

In right triangle

ADB,

the altitude theorem gives

CD^2=AC\cdot CB

Solución:

Sean

AC=u

y

CB=v.

El área sombreada es la del semicírculo grande menos las de los dos pequeños:

\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.

Como

D

está en el semicírculo de diámetro

AB,

el triángulo

ADB

es rectángulo y su altura satisface

CD^2=uv.

Por lo tanto, un círculo de radio

CD

tiene área

\pi uv.

La razón pedida es

1:4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

AC=u

and

CB=v.

The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones:

\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.

Since

D

lies on the semicircle with diameter

AB,

triangle

ADB

is right, and its altitude satisfies

CD^2=uv.

A circle of radius

CD

therefore has area

\pi uv.

The required ratio is

1:4.

Therefore, the correct answer is D.