1969 AMC 12 Problema 34

Question

El residuo

R

que se obtiene al dividir

x^{100}

entre

x^2-3x+2

es un polinomio de grado menor que

2.

Entonces,

R

puede escribirse como:

The remainder

R

obtained by dividing

x^{100}

by

x^2-3x+2

is a polynomial of degree less than

2.

Then

R

may be written as:

2^{100}-1

2^{100}(x-1)-(x-2)

2^{100}(x-3)

x(2^{100}-1)+2(2^{99}-1)

2^{100}(x+1)-(x+2)

Escribe

R(x)=ax+b

y usa

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Write

R(x)=ax+b

and use

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Evalúa la identidad de la división en

x=1

y

x=2

Evaluate the division identity at

x=1

and

x=2

Escribe

R(x)=ax+b.

Como el divisor es

(x-1)(x-2),

al evaluar la identidad de la división en sus raíces se obtiene

R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

R(x)=ax+b.

Since the divisor is

(x-1)(x-2),

evaluating the division identity at its roots gives

R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.

Therefore

\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 34 en otros años