1972 AMC 12 Problema 34

Question

Tres veces la edad de Dick más la edad de Tom es igual al doble de la edad de Harry. El doble del cubo de la edad de Harry es igual a tres veces el cubo de la edad de Dick más el cubo de la edad de Tom. Sus respectivas edades son coprimas dos a dos. La suma de los cuadrados de sus edades es:

Three times Dick’s age plus Tom’s age equals twice Harry’s age. Double the cube of Harry’s age is equal to three times the cube of Dick’s age added to the cube of Tom’s age. Their respective ages are relatively prime to each other. The sum of the squares of their ages is:

42

46

122

290

326

Respuesta: A

Conceptos:edades suma y diferencia de cubos Ecuación diofántica máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sean

D,

T,

y

H

las edades y reescribe la ecuación lineal como

2(H-D)=D+T

Let the ages be

D,

T,

and

H,

and rewrite the linear equation as

2(H-D)=D+T

Pista grande:

Factoriza ambas diferencias de cubos después de reescribir la ecuación cúbica

Factor both differences of cubes after rewriting the cubic equation

Solución:

Las ecuaciones son

\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3. \end{aligned}

Se reescriben como

2(H-D)=D+T

y

\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2). \end{gathered}

Al cancelar los factores positivos iguales se obtiene

\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0, \end{aligned}

por lo que

T=H+D.

La ecuación lineal da entonces

H=4D,

y el hecho de que sean coprimas dos a dos obliga a

(D,H,T)=(1,4,5).

La suma pedida es

1^2+4^2+5^2=42.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equations are

\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3. \end{aligned}

Rewrite them as

2(H-D)=D+T

and

\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2). \end{gathered}

Canceling the equal positive factors gives

\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0, \end{aligned}

so

T=H+D.

The linear equation then gives

H=4D,

and pairwise relative primality forces

(D,H,T)=(1,4,5).

The requested sum is

1^2+4^2+5^2=42.

Therefore, the correct answer is A.