1976 AMC 12 Problema 4

Question

Sea una progresión geométrica de

n

términos con primer término uno, razón común

r

y suma

s,

donde

r

y

s

no son cero. La suma de la progresión geométrica que se obtiene al reemplazar cada término por su recíproco es

Let a geometric progression with

n

terms have first term one, common ratio

r

and sum

s,

where

r

and

s

are not zero. The sum of the geometric progression formed by replacing each term of the original progression by its reciprocal is

\frac1s

\frac1{r^ns}

\frac{s}{r^{n-1}}

\frac{r^n}{s}

\frac{r^{n-1}}s

Escribe la suma de los recíprocos como

1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}

Write the reciprocal sum as

1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}

Invierte el orden de las potencias y extrae el factor

r^{-(n-1)}

Factor

r^{-(n-1)}

after reversing the order of the powers

Sea

S'

la suma de los recíprocos. Al multiplicarla por

r^{n-1}

, se invierte el orden de los términos originales:

\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}

Por tanto,

S'=\frac{s}{r^{n-1}}.

Esto también se cumple cuando

r=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

S'

be the reciprocal sum. Multiplying it by

r^{n-1}

reverses the original terms:

\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}

Hence

S'=\frac{s}{r^{n-1}}.

This also holds when

r=1.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 4 en otros años