1982 AMC 12 Problema 4

Question

El perímetro de una región semicircular, medido en centímetros, es numéricamente igual a su área, medida en centímetros cuadrados. El radio del semicírculo, medido en centímetros, es

The perimeter of a semicircular region, measured in centimeters, is numerically equal to its area, measured in square centimeters. The radius of the semicircle, measured in centimeters, is

\pi

\frac2\pi

1

\frac12

\frac4\pi+2

Respuesta: E

Conceptos:circunferencia perímetro área manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Incluye el diámetro en el perímetro de la región

Include the diameter in the perimeter of the region

Pista grande:

Iguala

\pi r+2r

a

\frac{\pi r^2}{2}

Set

\pi r+2r

equal to

\frac{\pi r^2}{2}

Solución:

Para

r\gt0,

la igualdad del perímetro y el área da

\pi r+2r=\frac{\pi r^2}{2}.

Al dividir entre

r

y resolver se obtiene

r=\frac{2(\pi+2)}{\pi}=2+\frac{4}{\pi}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For

r\gt0,

equality of perimeter and area gives

\pi r+2r=\frac{\pi r^2}{2}.

Dividing by

r

and solving yields

r=\frac{2(\pi+2)}{\pi}=2+\frac{4}{\pi}.

Therefore, the correct answer is E.