1951 AMC 12 Problema 20

Question

Al simplificar y expresar con exponentes negativos, la expresión

(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})

es igual a:

When simplified and expressed with negative exponents, the expression

(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})

is equal to:

x^{-2}+2x^{-1}y^{-1}+y^{-2}

x^{-2}+2^{-1}x^{-1}y^{-1}+y^{-2}

x^{-1}y^{-1}

x^{-2}+y^{-2}

\dfrac{1}{x^{-1}y^{-1}}

Reescribe

x^{-1}+y^{-1}

como una sola fracción

Rewrite

x^{-1}+y^{-1}

as one fraction

El factor

x+y

se cancela después de sumar los recíprocos

The factor

x+y

cancels after combining the reciprocals

Para valores no nulos

x,y

tales que

x+y\ne0,

\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For nonzero

x,y

with

x+y\ne0,

\begin{aligned} &(x+y)^{-1}(x^{-1}+y^{-1})\\ &\quad=\frac{1}{x+y}\left(\frac{x+y}{xy}\right)\\ &\quad=\frac1{xy}=x^{-1}y^{-1}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

El Problema 20 en otros años