1953 AMC 12 第 28 题

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28.

在三角形 ABCABC 中,边 aa、bb 和 cc 分别与角 AA、BB 和 CC 相对。AD‾\overline{AD} 平分角 AA,并与 BC‾\overline{BC} 交于 DD。若 x=CDx=CD 且 y=BDy=BD,则正确的比例式为:
In triangle ABC,ABC, sides a,a, bb and cc are opposite angles A,A, BB and CC respectively. AD‾\overline{AD} bisects angle AA and meets BC‾\overline{BC} at D.D. Then if x=CDx=CD and y=BDy=BD the correct proportion is:
xa=ab+c\dfrac xa=\dfrac a{b+c}
xb=aa+c\dfrac xb=\dfrac a{a+c}
yc=cb+c\dfrac yc=\dfrac c{b+c}
yc=ab+c\dfrac yc=\dfrac a{b+c}
xy=cb\dfrac xy=\dfrac cb
答案:D
知识点:角平分线定理triangleproportion
小提示:
对 BDDC\frac{BD}{DC} 使用角平分线定理
Apply the angle bisector theorem to BDDC\frac{BD}{DC}
大提示:
写出 yc=xb\frac{y}{c}=\frac{x}{b} 后,再使用 x+y=ax+y=a
Use x+y=ax+y=a after writing yc=xb\frac{y}{c}=\frac{x}{b}
解答:
由角平分线定理可得 yx=cb, \frac{y}{x}=\frac{c}{b}\text{,}即 yc=xb\frac{y}{c}=\frac{x}{b}。因为 x+y=ax+y=a,所以 yc=xb=x+yb+c=ab+c。 \frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}\text{。}
因此,正确答案是 D。
The angle bisector theorem gives yx=cb, \frac{y}{x}=\frac{c}{b}, or yc=xb.\frac{y}{c}=\frac{x}{b}. Since x+y=a,x+y=a, yc=xb=x+yb+c=ab+c. \frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.
Thus, the correct answer is D.
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