1953 AMC 12 Problema 28

Question

En el triángulo

ABC,

los lados

a,

b

y

c

están opuestos a los ángulos

A,

B

y

C

, respectivamente.

\overline{AD}

biseca el ángulo

A

y corta a

\overline{BC}

en

D.

Si

x=CD

y

y=BD

, la proporción correcta es:

In triangle

ABC,

sides

a,

b

and

c

are opposite angles

A,

B

and

C

respectively.

\overline{AD}

bisects angle

A

and meets

\overline{BC}

at

D.

Then if

x=CD

and

y=BD

the correct proportion is:

\dfrac xa=\dfrac a{b+c}

\dfrac xb=\dfrac a{a+c}

\dfrac yc=\dfrac c{b+c}

\dfrac yc=\dfrac a{b+c}

\dfrac xy=\dfrac cb

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz triangle proportion

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz a

\frac{BD}{DC}

Apply the angle bisector theorem to

\frac{BD}{DC}

Pista grande:

Usa

x+y=a

después de escribir

\frac{y}{c}=\frac{x}{b}

Use

x+y=a

after writing

\frac{y}{c}=\frac{x}{b}

Solución:

El teorema de la bisectriz da

\frac{y}{x}=\frac{c}{b},

o bien

\frac{y}{c}=\frac{x}{b}.

Como

x+y=a,

\frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angle bisector theorem gives

\frac{y}{x}=\frac{c}{b},

or

\frac{y}{c}=\frac{x}{b}.

Since

x+y=a,

\frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.

Thus, the correct answer is D.