1956 AMC 12 第 21 题

Question

若两条相交直线都与一条双曲线相交，且都不与该双曲线相切，则它们与双曲线的交点数可能为：

If each of two intersecting lines intersects a hyperbola and neither line is tangent to the hyperbola, then the possible number of points of intersection with the hyperbola is:

2

2

或

3

2

or

3

2

或

4

2

or

4

3

或

4

3

or

4

2

、

3

或

4

2,

3,

or

4

答案：E

知识点：双曲线 line-conic intersections counting distinct points

难度评级：1770

小提示：

一条与双曲线相交但不相切的直线，可能有一个或两个交点

A non-tangent line that intersects a hyperbola can meet it in either one or two points

大提示：

由于两条直线本身相交，它们可能共用双曲线上的一个交点

The two lines may share one hyperbola point, since the lines themselves intersect

解答：

当直线方向平行于一条渐近线时，它可以与双曲线有一个有限交点；否则可以有两个有限交点。适当选取两条直线，使它们在双曲线上的有限交点互不重合，便可分别得到

1+1=2

、

1+2=3

或

2+2=4

个不同交点。若两条直线自身的交点恰好在双曲线上，则这个交点只计一次。

因此，

2

、

3

或

4

都有可能，正确答案是 E。

A line can meet a hyperbola in either one finite point, when its direction is parallel to an asymptote, or two finite points. By choosing the two lines so that their finite intersection sets on the hyperbola are disjoint, they can therefore contribute

1+1=2,

1+2=3,

or

2+2=4

distinct intersections. If their own intersection lies on the hyperbola, one point is shared instead.

Thus,

2,

3,

or

4

are possible, and the correct answer is E.

1956 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

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