1993 AMC 12 第 21 题

Question

设

a_1

、

a_2

、

\ldots

、

a_k

是一个有限等差数列，满足

a_4+a_7+a_{10}=17

且

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77 \end{aligned}\text{。}

若

a_k=13

，则

k=

Let

a_1,

a_2,

\ldots,

a_k

be a finite arithmetic sequence with

a_4+a_7+a_{10}=17

and

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}

If

a_k=13,

then

k=

16

18

20

22

24

答案：B

知识点：等差数列 symmetric averages common difference

难度评级：1780

小提示：

利用中间项求出

a_7

和

a_9

。

Use the middle terms to find

a_7

and

a_9

大提示：

a_7

与

a_9

的差可确定公差。

The difference between

a_7

and

a_9

determines the common difference

解答：

因为等差数列中关于某项对称的各项平均值等于该中间项，所以

3a_7=17,\qquad 11a_9=77\text{。}

因此

a_7=\frac{17}{3}

、

a_9=7

，公差为

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}

。由于

13-7=6=9d

，有

a_k=a_{9+9}=a_{18}

。故正确答案是 B。

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term,

3a_7=17,\qquad 11a_9=77.

Thus

a_7=\frac{17}{3}

and

a_9=7,

so the common difference is

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.

Since

13-7=6=9d,

we have

a_k=a_{9+9}=a_{18}.

Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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