1973 AMC 12 第 21 题

Question

和为

100

的、由两个或更多连续正整数组成的集合个数为

The number of sets of two or more consecutive positive integers whose sum is

100

is

1

2

3

4

5

答案：B

知识点：等差数列因数奇偶性系统列举

难度评级：1970

小提示：

若从

a

开始共有

k

项，将总和乘以二，得到

200=k(2a+k-1)

If there are

k

terms beginning with

a,

double the sum to obtain

200=k(2a+k-1)

大提示：

检验满足

k\lt\sqrt{200}

的约数，并要求

a

为正整数

Check divisors

k\lt\sqrt{200}

and enforce that

a

is a positive integer

解答：

对从

a

开始的

k\ge2

个连续正整数，

200=k(2a+k-1)\text{。}

由正性可得

k\lt\sqrt{200}

，所以

200

的可能约数

k

为

2,4,5,8,10\text{。}

由

2a=\frac{200}{k}-k+1\text{，}

只有

k=5

与

k=8

使右边为正偶数。它们分别给出集合

18,19,20,21,22

和

9,10,\ldots,16

。因此共有

2

个集合。

所以正确答案是 B。

For

k\ge2

consecutive positive integers starting at

a,

200=k(2a+k-1).

Positivity gives

k\lt\sqrt{200},

so the possible divisors

k

of

200

are

2,4,5,8,10.

From

2a=\frac{200}{k}-k+1,

only

k=5

and

k=8

give positive even right-hand sides. They yield the sets

18,19,20,21,22

and

9,10,\ldots,16.

Hence there are

2

sets.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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