1966 AMC 12 第 21 题

Question

按以下方法作一个“

n

角星”：将一个凸多边形的各边依次编号为

1

、

2

、

\ldots

、

k

、

\ldots

、

n

，其中

n\geq5

；对于

k

的全部

n

个取值，边

k

与边

k+2

均不平行，并约定边

n+1

和边

n+2

分别与边

1

和边

2

相同；将编号为

k

和

k+2

的

n

对边延长至相交。（图示为

n=5

的情形。）

设

S

为该星形

n

个尖角的内角度数之和，则

S

等于：

An “

n

-pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively

1,

2,

\ldots,

k,

\ldots,

n,

n\geq5;

for all

n

values of

k,

sides

k

and

k+2

are non-parallel, sides

n+1

and

n+2

being respectively identical with sides

1

and

2;

prolong the

n

pairs of sides numbered

k

and

k+2

until they meet. (A figure is shown for the case

n=5.

)

Let

S

be the degree-sum of the interior angles at the

n

points of the star; then

S

equals:

180

360

180(n+2)

180(n-2)

180(n-4)

答案：E

知识点：导角角度和

难度评级：1880

小提示：

将每个星尖角与原多边形的两个相邻内角联系起来

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

大提示：

原多边形的内角和为

180(n-2)

度

The original polygon’s interior-angle sum is

180(n-2)

degrees

解答：

设原多边形的内角为

a_1,\ldots,a_n

。由边

k

和边

k+2

形成的星尖角为

a_k+a_{k+1}-180^\circ\text{。}

循环求和时，每个

a_k

被计算两次。因此

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4) \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let the original polygon’s interior angles be

a_1,\ldots,a_n.

The star angle made from sides

k

and

k+2

equals

a_k+a_{k+1}-180^\circ.

Summing cyclically counts each

a_k

twice. Hence

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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